72法則是什麼意思?報酬率翻倍及投資時間的快速計算公式

72法則

如果你想快速評估一個東西的報酬率、一個東西多久回本,就可以使用72法則,
由於報酬率涉及複利,也涉及非整數的百分比、小數點,因此大多數用計算機完成,
72法則是一種速算的方式,雖然無法達到100%精確,但是可以讓你在短短幾秒內用心算快速算預估出報酬率、回本時間。

這篇文章市場先生介紹72法則是什麼、計算公式以及計算多久可以翻倍的技巧。

72法則是什麼意思?

72法則定義是計算複利的簡單速算版本,可以用72法則快速計算出預計的投資本金翻倍時間,或者用成果回推預計年化報酬率。

72法則又稱為複利72法則,最初是假設以1%報酬複利計算,經過72年後,本金就會翻成1倍。

最早提出72法則的人,是義大利著名的數學家 盧卡·帕喬利(Luca Pacioli),他在1494年的《算術、幾何、比例總論》一書中,提出了這個概念,後來也被喻為會計之父。

72法則是一種簡單的速算方法,可以根據年化報酬率,計算投資翻倍所需的時間,數學不好的人也能輕鬆計算,
但是使用時必須特別注意,這只是一個速算的方法,並非100%準確,
它最準確的數值是在8%利率(報酬率)的時候,如果離8%越遠,結果就會越不準確。

如果對複利不了解,可先閱讀:複利是什麼?

72法則公式怎麼計算?

72法則公式(計算本金翻倍的時間)72 ÷ 年化報酬率 = 本金翻倍的時間

72法則公式(計算報酬率)72 ÷ 本金翻倍投資時間= 年化報酬率

72法則有3個元素,3個元素彼此之間關係如上面的公式:

  1. 年化報酬率%
  2. 報酬翻倍時間
  3. 72這個數字。

72法則是一個非常基本的公式,
只要將數字72除以年化報酬率,就能計算出本金翻倍的時間;
如果把數值相反,變成72除以本金投資時間,就能計算出年化報酬率。

計算時你必須知道固定的複合年利率是多少,或是知道投資翻倍的時間是幾年,

例如:

1. 速算本金翻倍的時間(大約值)

第一個例子,假設年化報酬率8%,那麼可以速算出,本金要 9 年才能翻倍,計算公式:72 ÷ 8 = 9

驗算: 1 * ( 1+ 8%) ^9 =  199.90046% 接近200%,代表用8%報酬率複利投資9年,扣除本金以外,本金成長了1倍。

如果將改為年化報酬率10%,那麼這個投資大約在7.2年時間翻倍(72 ÷ 10 = 7.2);

如果年化報酬為12%,投資的金額大約6年內翻倍 (72 ÷ 12 = 6)。

 

第二個例子,假設你有 100,000 元可以投資、年化報酬率為 7%,你想知道本金需要多長時間才能達到200,000 元(翻倍)?

答案就是:大約10.28年才會翻倍到200,000 元。

計算方法:72 ÷ 7 = 10.28 (年)

驗算: 100,000 × (1+7%)^(10.28) = 200,477.3  意思是7%報酬率之下經過10.28年,本金會從 10萬增加到20萬出頭,增加了一倍。

 

2. 計算報酬率(大約值)

第一個例子:
假設某一個投資,經過9年後價值翻了一倍,那年化報酬率是多少呢?答案是 8% ,計算公式:72 ÷ 9 = 8

第二個例子:
假設有 100,000 元可以投資、想在4年翻倍到200,000 元,要投資年化報酬率多少的商品?
答案就是:要選擇年利率有18%的商品,才會在4年內翻倍到200,000 元。
計算方法:72 ÷ 4 = 18 (%)

進階的例子:
很多時候我們不會得知剛好翻倍的年份,但仍可以大致估算。

例如假設某一個投資,經過15年,從10萬元成長到80萬元,報酬率是多少?

10萬成長到80萬,等於翻倍了3次,10萬翻倍20萬,20萬翻倍40萬,40萬翻倍80萬,
一共投資15年,因此平均5年翻倍一次(第一個5年從10萬到20萬,第二個5年從20萬到40萬,第三個5年從40萬到80萬,共15年)。

72 ÷ 5 = 年化報酬率 14.4%

驗算: 100000 ×(1+14.4%)^15 = 755298.8  雖然和80萬有誤差,但也不至於差很多。
真正正確的報酬率是14.87%,和14.4%不同,但14.4%用心算就可以幾秒算出來,14.87%卻要用計算機才可能算出來。

用72除以報酬率,就可以知道翻倍要多久(時間),或是72除以翻倍多久(時間),就可以得到報酬率。

72法則怎麼用?投資多久可以翻倍?

72法則可以用在計算複利的狀況,包括任何以複合成長率成長的事物,
例如人口、宏觀經濟數據、收費或貸款、共同基金的年費、信用卡利息、通貨膨脹翻倍時間、學生貸款的利率…等都很常使用。

72法則運用方式:

  • 如果通貨膨脹以每年3%的速度增長,那麼物價約在 72 ÷ 3 = 24 年內翻1倍。
  • 如果通貨膨脹率下滑到2%,物價約在36年內翻1倍。
  • 如果通貨膨脹率上升到4%,物價約在18年內翻1倍。
  • 如果國內生產總值(GDP)以每年4%的速度增長,預計經濟約在18年內翻1倍。
  • 如果大學學費以每年5%的速度成長,那麼學費約在4年內翻1倍。
  • 如果你為信用卡支付17%的利息,欠款約在2年內翻1倍。
  • 一個每年收取3%費用的共同基金,沒有報酬的情況下,約在24年左右將你的投資本金減少到一半。

如果想知道投資要多久可以翻倍,就套用前面的公式,用 72 ÷利率,就是n年翻倍的時間,它可以用來算預估報酬率、速算預估回本時間。

72法則利率&投資時間翻倍計算法:

  • 利率1%:你的錢需要72年翻倍 (72 ÷ 1 = 72)
  • 利率2%:你的錢需要36年翻倍 (72 ÷ 2 = 36)
  • 利率3%:你的錢需要24年翻倍 (72 ÷ 3 = 24)
  • 利率4%:你的錢需要18年翻倍 (72 ÷ 4 = 18)
  • 利率5%:你的錢需要14.4年翻倍 (72 ÷ 5 = 14.4)
  • 利率6%:你的錢需要12年翻倍 (72 ÷ 6 = 12)
  • 利率7%:你的錢需要10.28年翻倍 (72 ÷ 7 = 10.28)
  • 利率8%:你的錢需要9年翻倍 (72 ÷ 8 = 9)
  • 利率9%:你的錢需要8年翻倍 (72 ÷ 9 = 8)
  • 利率10%:你的錢需要7.2年翻倍 (72 ÷ 10 = 7.2)
  • 利率11%:你的錢需要 6.54年翻倍 (72 ÷ 11 = 6.54)
  • 利率12%:你的錢需要6年翻倍 (72 ÷ 12 = 6)

72法則在運用時,有幾個重點要注意:

  1. 72法則只適用於計算複利而非單利的情況。(單利計算直接乘除就好)
  2. 72法則對於6%~10%的利率準確度較高。
  3. 72法則並不是100%準確,一個簡單的經驗法則認為,當利率每偏離8% (72法則理想範圍的中間值)的3個點,就在72中加或減“1”,例如在非常高的利率下,使用數字78會比72有更準確的結果;對於較低的利率,則使用69或70更準確。
  4. 除了72法則之外,還有衍生出71法則、70法則和69.3法則,這些都是用來預測投資倍增或減半所需的時間,也都在計算複利的結果。

為什麼是72這個數字?

72這數字是可以由數學證明推導出來的,但數學證明推導出來是69.3,
不過69.3不好用,且估計仍會有誤差,因此就取一個公因數更多的整數72,更方便做心算。

詳細推導證明有興趣可以看下一段。

72法則的證明推導公式

市場先生提示:除非你是數學系的,否則我覺得這段可以跳過,知道用法就好,
推導過程我列在下面,有興趣自己研究囉:

72法則的證明推導公式:

第1步: 1 × (1+r)^n = 2  (1元經過報酬率r 複利n年會變2元、2倍)

第 2 步:(1+r)^n = 2  (1可以省略)

第 3 步:ln((1+R)^n) = ln(2)   (取兩邊的自然對數)

第 4 步:n × ln(1+r) = 0.693  (把ln2算出來,也把^n可以從ln中移出來,不懂的自己回去看高中數學課本)

第 5 步:n × r = 0.693   (  ln(1+r) = r 的近似值,這是僅限於r接近0附近才成立的假設 )

第 6 步:n = 0.693 ÷ r  (移項)

第 7 步:n = 69.3 ÷ r   (將 r ×100 轉換為整數而不是小數)

算出來是69.3,不是72。
雖然這樣會有誤差,但其實用69.3也一定有誤差,主要是 ln(1+r) = r 這一步做了簡化。實際上 ln(1+r)不等於r ,只是大略接近而以。

在報酬率10%以上,用72去除其實會比69.3更準確,總體來說72更好做心算速算,所以就變成72法則了。

從公式限制也可以知道,年化報酬率在越接近0%,例如1%、2%、3%時,72法則或69.3都相對精準,
可是一旦報酬率數字越大,就會越失準。

快速重點整理:72法則是什麼意思?

  1. 72法則是一種簡單的速算法,可以速算出預計的本金翻倍時間、預計報酬率。
  2. 72法則只適用於計算複利而非單利的情況,對於6%~10%的利率準確度較高。
  3. 72法則並不是100%準確,經驗法則認為當利率偏離8%之後,誤差會越來越大。
  4. 72法則可以用在計算複利的狀況,主要是用來速算預估報酬率、速算預估回本時間,像是用來計算通貨膨脹翻倍時間、信用卡債務、汽車貸款、住房抵押貸款、學生貸款的利率…等都很常使用。

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編輯:Joy 主編:市場先生

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