72法則是什麼意思？報酬率翻倍及投資時間的快速計算公式

2022.03.23

如果你想快速評估一個東西的報酬率、一個東西多久回本，就可以使用72法則，
由於報酬率涉及複利，也涉及非整數的百分比、小數點，因此大多數用計算機完成，
72法則是一種速算的方式，雖然無法達到100%精確，但是可以讓你在短短幾秒內用心算快速算預估出報酬率、回本時間。

這篇文章市場先生介紹72法則是什麼、計算公式以及計算多久可以翻倍的技巧。

本文市場先生會告訴你：

72法則是什麼意思？

72法則定義是計算複利的簡單速算版本，可以用72法則快速計算出預計的投資本金翻倍時間，或者用成果回推預計年化報酬率。

72法則又稱為複利72法則，最初是假設以1%報酬複利計算，經過72年後，本金就會翻成1倍。

最早提出72法則的人，是義大利著名的數學家盧卡·帕喬利(Luca Pacioli)，他在1494年的《算術、幾何、比例總論》一書中，提出了這個概念，後來也被喻為會計之父。

72法則是一種簡單的速算方法，可以根據年化報酬率，計算投資翻倍所需的時間，數學不好的人也能輕鬆計算，
但是使用時必須特別注意，這只是一個速算的方法，並非100%準確，
它最準確的數值是在8%利率(報酬率)的時候，如果離8%越遠，結果就會越不準確。

如果對複利不了解，可先閱讀：複利是什麼？

72法則公式怎麼計算？

72法則公式(計算本金翻倍的時間)：72 ÷ 年化報酬率 = 本金翻倍的時間

72法則公式(計算報酬率)：72 ÷ 本金翻倍投資時間= 年化報酬率

72法則有3個元素，3個元素彼此之間關係如上面的公式：

年化報酬率%
報酬翻倍時間
72這個數字。

72法則是一個非常基本的公式，
只要將數字72除以年化報酬率，就能計算出本金翻倍的時間；
如果把數值相反，變成72除以本金投資時間，就能計算出年化報酬率。

計算時你必須知道固定的複合年利率是多少，或是知道投資翻倍的時間是幾年，

例如：

1. 速算本金翻倍的時間(大約值)：

第一個例子，假設年化報酬率8%，那麼可以速算出，本金要 9 年才能翻倍，計算公式：72 ÷ 8 = 9

驗算： 1 * ( 1+ 8%) ^9 = 199.90046% 接近200%，代表用8%報酬率複利投資9年，扣除本金以外，本金成長了1倍。

如果將改為年化報酬率10%，那麼這個投資大約在7.2年時間翻倍(72 ÷ 10 = 7.2)；

如果年化報酬為12%，投資的金額大約6年內翻倍 (72 ÷ 12 = 6)。

第二個例子，假設你有 100,000 元可以投資、年化報酬率為 7%，你想知道本金需要多長時間才能達到200,000 元(翻倍)？

答案就是：大約10.28年才會翻倍到200,000 元。

計算方法：72 ÷ 7 = 10.28 (年)

驗算： 100,000 × (1+7%)^(10.28) = 200,477.3 意思是7%報酬率之下經過10.28年，本金會從 10萬增加到20萬出頭，增加了一倍。

2. 計算報酬率(大約值)：

第一個例子：
假設某一個投資，經過9年後價值翻了一倍，那年化報酬率是多少呢？答案是 8% ，計算公式：72 ÷ 9 = 8

第二個例子：
假設有 100,000 元可以投資、想在4年翻倍到200,000 元，要投資年化報酬率多少的商品？
答案就是：要選擇年利率有18%的商品，才會在4年內翻倍到200,000 元。
計算方法：72 ÷ 4 = 18 (%)

進階的例子：
很多時候我們不會得知剛好翻倍的年份，但仍可以大致估算。

例如假設某一個投資，經過15年，從10萬元成長到80萬元，報酬率是多少？

10萬成長到80萬，等於翻倍了3次，10萬翻倍20萬，20萬翻倍40萬，40萬翻倍80萬，
一共投資15年，因此平均5年翻倍一次(第一個5年從10萬到20萬，第二個5年從20萬到40萬，第三個5年從40萬到80萬，共15年)。

72 ÷ 5 = 年化報酬率 14.4%

驗算： 100000 ×(1+14.4%)^15 = 755298.8 雖然和80萬有誤差，但也不至於差很多。
真正正確的報酬率是14.87%，和14.4%不同，但14.4%用心算就可以幾秒算出來，14.87%卻要用計算機才可能算出來。

用72除以報酬率，就可以知道翻倍要多久(時間)，或是72除以翻倍多久(時間)，就可以得到報酬率。

72法則怎麼用？投資多久可以翻倍？

72法則可以用在計算複利的狀況，包括任何以複合成長率成長的事物，
例如人口、宏觀經濟數據、收費或貸款、共同基金的年費、信用卡利息、通貨膨脹翻倍時間、學生貸款的利率…等都很常使用。

72法則運用方式：

如果通貨膨脹以每年3%的速度增長，那麼物價約在 72 ÷ 3 = 24 年內翻1倍。
如果通貨膨脹率下滑到2%，物價約在36年內翻1倍。
如果通貨膨脹率上升到4%，物價約在18年內翻1倍。
如果國內生產總值(GDP)以每年4%的速度增長，預計經濟約在18年內翻1倍。
如果大學學費以每年5%的速度成長，那麼學費約在4年內翻1倍。
如果你為信用卡支付17%的利息，欠款約在2年內翻1倍。
一個每年收取3%費用的共同基金，沒有報酬的情況下，約在24年左右將你的投資本金減少到一半。

如果想知道投資要多久可以翻倍，就套用前面的公式，用 72 ÷利率，就是n年翻倍的時間，它可以用來算預估報酬率、速算預估回本時間。

72法則利率&投資時間翻倍計算法：

利率1%：你的錢需要72年翻倍 (72 ÷ 1 = 72)
利率2%：你的錢需要36年翻倍 (72 ÷ 2 = 36)
利率3%：你的錢需要24年翻倍 (72 ÷ 3 = 24)
利率4%：你的錢需要18年翻倍 (72 ÷ 4 = 18)
利率5%：你的錢需要14.4年翻倍 (72 ÷ 5 = 14.4)
利率6%：你的錢需要12年翻倍 (72 ÷ 6 = 12)
利率7%：你的錢需要10.28年翻倍 (72 ÷ 7 = 10.28)
利率8%：你的錢需要9年翻倍 (72 ÷ 8 = 9)
利率9%：你的錢需要8年翻倍 (72 ÷ 9 = 8)
利率10%：你的錢需要7.2年翻倍 (72 ÷ 10 = 7.2)
利率11%：你的錢需要 6.54年翻倍 (72 ÷ 11 = 6.54)
利率12%：你的錢需要6年翻倍 (72 ÷ 12 = 6)

72法則在運用時，有幾個重點要注意：

72法則只適用於計算複利而非單利的情況。(單利計算直接乘除就好)
72法則對於6%～10%的利率準確度較高。
72法則並不是100%準確，一個簡單的經驗法則認為，當利率每偏離8% (72法則理想範圍的中間值)的3個點，就在72中加或減“1”，例如在非常高的利率下，使用數字78會比72有更準確的結果；對於較低的利率，則使用69或70更準確。
除了72法則之外，還有衍生出71法則、70法則和69.3法則，這些都是用來預測投資倍增或減半所需的時間，也都在計算複利的結果。

為什麼是72這個數字？

72這數字是可以由數學證明推導出來的，但數學證明推導出來是69.3，
不過69.3不好用，且估計仍會有誤差，因此就取一個公因數更多的整數72，更方便做心算。

詳細推導證明有興趣可以看下一段。

72法則的證明推導公式

市場先生提示：除非你是數學系的，否則我覺得這段可以跳過，知道用法就好，
推導過程我列在下面，有興趣自己研究囉：

72法則的證明推導公式：

第1步： 1 × (1+r)^n = 2 (1元經過報酬率r 複利n年會變2元、2倍)

第 2 步：(1+r)^n = 2 (1可以省略)

第 3 步：ln((1+R)^n) = ln(2) (取兩邊的自然對數)

第 4 步：n × ln(1+r) = 0.693 (把ln2算出來，也把^n可以從ln中移出來，不懂的自己回去看高中數學課本)

第 5 步：n × r = 0.693 ( ln(1+r) = r 的近似值，這是僅限於r接近0附近才成立的假設 )

第 6 步：n = 0.693 ÷ r (移項)

第 7 步：n = 69.3 ÷ r (將 r ×100 轉換為整數而不是小數)

算出來是69.3，不是72。
雖然這樣會有誤差，但其實用69.3也一定有誤差，主要是 ln(1+r) = r 這一步做了簡化。實際上 ln(1+r)不等於r ，只是大略接近而以。

在報酬率10%以上，用72去除其實會比69.3更準確，總體來說72更好做心算速算，所以就變成72法則了。

從公式限制也可以知道，年化報酬率在越接近0%，例如1%、2%、3%時，72法則或69.3都相對精準，
可是一旦報酬率數字越大，就會越失準。