債券凸性是什麼？如何影響利率和債券價格的計算方式？

債券凸性(英文：Bond Convexity)是用來解釋為什麼升息/降息的時候，債券價格變化不是線性變化。

投資人普遍會用債券存續期間來預估利率與債券價格之間的關係，它是一條線性變化的常數；
例如存續期間8年的債券，通常代表升息1%時，債券價格會下跌8%，以此類推。

但許多人會發現，當真正升息或降息時，利率與債券價格的關係，並非直線線性關係，而是比例會持續變化的曲線。

換句話說，同樣的債券，在不同市場利率之下，存續期間其實是不一樣的。

債券凸性就是用來描述存續期間如何隨利率持續改變的變化率。

距離到期日越久的債券，凸性會比較高，價格變化的敏感度會比較高；而到期時間越接近的債券，凸性會比較低，價格變化的敏感度會比較低。

這篇文章市場先生介紹什麼是債券凸性？債券凸性對投資人重要嗎？也解釋為什麼會債券會產生凸性，以及該怎麼計算與查詢。

債券凸性(Bond Convexity)是什麼？

債券凸性(英文：Bond Convexity)是描述存續期間如何隨利率持續改變的變化率。債券凸性可以用來修正債券存續期間，讓計算利率變化和債券債券價格變化的關係，能夠更精準、更貼近真實情況。

在談債券凸性之前，要先認識債券存續期間(Duration)。

• 債券存續期間：用來表示債券價格與利率變化之間的關係，存續期間越長的債券，價格對利率變化就越大。單位是年(year，yr)。

例如存續期間7.5 yr的債券，意思是當利率上升1%時，預期債券價格會下跌7.5%，反過來說，利率下降1%時，預期債券價格會上升7.5%。

如果把存續期間放在利率-債券價格的座標圖面上，利率與價格的關係根據存續期間，會呈現一條斜線，債券存續期間就是斜線的斜率。

但存續期間是根據現在的利率計算出來的，它假設債券價格與利率是「線性關係(Linear)」，這個假設只能說是近似，但並不完全正確。

真實的狀況是，當利率變化時，存續期間(斜率，利率和價格的斜率)也會一起變化，所以相同的債券在不同利率水準下，存續期間並不一樣。

例如同樣信用品質、同樣到期時間的債券，在市場利率是2%時，和市場利率是4%時，存續期間並不相同。

換句話說，存續期間的斜率，會隨利率變化而持續變動。

• 債券凸性就是描述存續期間，隨利率的變化程度。(斜率的變化率）

舉例來說，在當前利率水準下，存續期間是4.8年的美國公債，意思是當市場利率下跌1%的時候，投資人預期債券價格會上漲4.8%。

但真實情況是，在升息1%的過程中，債券存續期間也同時改變，不再是4.8年，而是會減少，例如存續期間會變成4.7年、4.6年。所以債券價格的變動會略小於4.8%；
同樣的道理，當市場利率升息2%，債券價格也不會下跌9.6% (4.8%×2)，而是會小於9.6%，這就是債券凸性的特性。(上述舉例為正凸性，多數債券如此)

降息的話就是反過來，利率往下時，債券存續期間會同時增加，所以價格上漲幅度也會高於用存續期間計算出的預估值。

小結：

• 債券凸性是用來衡量債券價格與利率變化非線性關係的指標。
• 不同的利率下，同樣的債券，存續期間也不一樣，意思是存續期間會隨利率改變。
• 債券凸性越大，升息、降息時候，想用存續期間預估債券的價格變化就越不準確。

市場先生提示：如果要比喻的話，存續期間就如同速度，債券凸性如同加速度。

• 存續期間(速度)：價格和利率的關係。(速度是時間和距離的關係)
• 債券凸性(加速度)：存續期間和利率的關係。(加速度是速度和時間的關係)

用速度和加速度的關係去思考，比較容易想通債券凸性和存續期間的關係。

債券凸性的特性

債券凸性分成兩種：正凸性和負凸性。下面分別介紹會這兩類凸性會對債券產生什麼影響以及特性。

債券正凸性(Positive Convexity)：利率上升存續期間減少；利率下降存續期間增加

• 大多傳統債券，都有正凸性特性：公債、企業債
• 利率上升：存續期間持續減少
• 利率下降：存續期間持續增加。

正凸性債券價格相對利率的變化，與當下利率計算的存續期間相比，會呈現向上彎峭的曲線，意思就是當利率上升時，存續期間持續減少(即斜率會變小)；而利率下降時，存續期間持續增加(即斜率變大)。

大多數傳統債券，例如：美國公債、普通政府債券、企業債等，都有不同程度的正凸性，而且到期日越長，凸性越高。

在升息期間，正凸性債券因為存續期間會跟著利率變化減少，所以債券價格跌幅，會比升息前用存續期間推估的跌幅更少。

反過來說，在降息期間，正凸性債券因為存續期間會跟著利率降低而增加，所以債券價格漲幅，會比降息前用存續期間推估的漲幅更多。

簡單來說，存續期間相同，凸性較高的債券，在利率變化較大的時期，會提供投資人一點點類似下跌保護的效果，投資人承擔的利率風險其實會比理論值低一點。

債券負凸性(Negative Convexity)：利率上升存續期間增加；利率下降存續期間減少

• 負凸性會出現在特殊類型債券上，例如：可贖回債券、不動產抵押貸款證券
• 利率上升：存續期間持續增加
• 利率下降：存續期間持續減少
• 通常到期殖利率比傳統債券高

負凸性債券價格相對利率的變化，與當下利率計算的存續期間相比，會呈現向下彎峭的曲線，意思就是當利率上升時，存續期間會跟著增加(即斜率會變大)；而利率下降時，存續期間則會減少(即斜率變小)。

負凸性常出現在於具有特殊條件的債券上，例如：可贖回債券(Callable Bonds)、不動產抵押貸款證券(MBS)等。

在升息期間，負凸性債券因為存續期間會跟著利率上升而增加，所以債券價格跌幅，會比升息前用存續期間推估的跌幅更大。

而在降息期間，負凸性債券因為存續期間會跟著利率下降而減少，所以債券價格漲幅，可能比降息前用存續期間推估的漲幅少。

負凸性的債券所承擔的利率風險，有可能比理論值高一些，因為它在降息循環時，可能無法獲得充分的漲幅。

也因為負凸性債券的利率風險較高，所以負凸性債券的到期殖利率，一般會比正凸性債券高一些，當作投資人承擔較高利率風險的補償。

在利率變化不大的時期，持有存續期間相同，但凸性較低的債券，固定收益的報酬通常會比凸性較高的債券高一些。

債券凸性對投資人的意義：知道基本特性就足夠

一般債券投資人只要知道債券凸性的基本特性，了解自己持有的債券具有怎樣類型的利率風險就足夠。

因為利率變化幅度不大的形況下，存續期間推估的價格變化已經夠一般投資人使用，除非利率變化幅度劇烈，存續期間的推估值才容易失真。

但一般投資人也不太需要知道詳盡的凸性數據，大方向上知道債券具有哪種凸性，以及這種凸性會帶來怎樣的結果就已經足夠。

舉例來說，如果你想投資美國公債，就應該了解到無論是直接買美國債券、美國公債ETF或是美國公債基金，其實都是蘊含正凸性，

在高利率環境，存續期間會低於以往，此時利率波動會比以前更小，當利率升降1%，價格波動會比以前更小。
而在低利率環境，存續期間會比以往高，此時利率波動會比以前更大，當利率升降1%，價格波動會比以前更大。

而如果你投資的是MBS，就得知道你的投資部位雖然可以領到較美國公債高一些的報酬，但如果利率波動變大的時候，價格的波動性也可能較劇烈。

債券凸性為什麼重要：專業機構分析利率風險的必要工具

債券凸性是專業經理人或是金融機構分析債券風險的必要工具。

這項工具對金融機構、基金經理人十分必要，因為他們會需要詳盡分析投資組合承擔多少利率風險。

舉例來說，有些固定收益基金其實不會只持有一種類型的債券，它可能會同時持有美國公債、公司債、MBS、可轉換公司債(CB)等，而每一種類型的債券，利率風險的水準都不相同。

透過對每種債券的凸性做分析，基金經理人可以更清楚的掌握整個債券投資組合，到底承擔了多少利率風險。

為什會債券會產生凸性？

債券可能產生正凸性與負凸性，市場先生根據凸性的種類，個別介紹產生的原因。

1. 因為利率變動對現值的影響不是線性，會產生正凸性

利率變動時，距離到期日較遠的現金流，對現值的影響程度大；距離到期日較近的現金流，對現值的影響程度較小，並不是線性關係，會讓債券產生正凸性。

現值的意思就是：未來的所有現金流，在今天值多少錢。現值一般都是用現金流量折現法(DCF)來計算。

舉例來說，如果在利率2%的時候，有一個投資方案承諾一年後提供1020元的報酬，那表示這個投資方案現在只價值1000元：

• 1,020 ÷ (1+2%)¹=1,000

把現值的概念用在債券上，債券是固定收益商品，每期的現金流量固定，把每一期的票息+到期本金，全部按照折現率計算成現值然後加總起來，其實就是這一檔債券現在的合理價值，一般也認為是債券應有的價格。

當利率變化時，計算債券估值的折現率也會跟著變化，到期日不同的現金流，對折現率變化的影響程度不同，這就是傳統債券本身就具有正凸性的原因。

舉例來說，如果在市場利率5%的時期，發行面額10萬，票面利率5%，共10年期的債券，把每一期的流金流轉換為現值，可以知道當下的現值其實剛好等於10萬元，代公式可算出存續期間約是8.11年，意思是我們預期利率每調整1%，債券價格會變動8.11%。

如果市場利率一次下降到3%，重新計算後會發現現值變成117,060，但每一筆現金流對現值變化的貢獻都不一樣，例如第1年就支付5,000元的利息，對現值影響差異僅有92元，第9年才支付的5,000元的利息，對現值的影響就高達609元。

範例中也可以看到，市場利率從5%下降到3%後，現值變動幅度約是17.06%，已經大過8.11%×2=16.22%。

以存續期間估算的價格變化是線性關係；但實際上債券每一期現金流對現值的貢獻，卻不是線性關係，反映在價格上，就會形成一條向上彎曲的曲線，這就是債券產生正凸性的原因。

延伸閱讀：現金流量折現法是什麼？

2. 現金流存在不確定性，會產生負凸性

如果固定收益商品的現金流存在不確定性，可能在特定條件下減少或是完全歸零，就會產生負凸性。

簡單說，產生負凸性的原因就是現金流可能減少或領不到，所以一般都出現在比較特殊的債券上，例如常見的可贖回債券(Callable Bonds)、不動產抵押貸款證券(MBS)。

以可贖回債券來舉例，可贖回債券的條款是：發行人有權利以債券面額贖回債券。

當利率降低的時候，理論上債券價格應該充分上漲，才能適當反應當時的市場利率，但利率調降的環境也比較有利發行人啟動贖回。

因為發行人只需要支付面額就可以回收在外流通的證券，不用理會市價漲跌；低利率的的環境讓發行人可以用更低的票面利率，重新發行新的債券，節省利息支出。

你可以把提前贖回想像成債券價格被設定了一個上限，投資人會擔心如果在低利率期間，花了太高的價格購買可贖回債券，一旦發行人啟動贖回，就只能拿回票面金額，也失去未來所有的現金流收入。

不動產抵押貸款證券(MBS)也是類似的原因，MBS的收益來自貸款人繳納的利息，低利率的環境可能讓貸款人再融資，就是以較低的利率借新錢，還掉利率較高的舊貸款，這對MBS的投資人來說形同收益下降。

這種被提前贖回所，或是現金流不確定性產生的風險，會限制債券價格的上漲幅度，讓債券產生負凸性。

延伸閱讀：可贖回債券(Callable Bonds)是什麼？、不動產抵押貸款證券(MBS)是什麼？

債券凸性的計算方法

下圖是債券凸性的計算公式，如果你真的需要計算債券凸性，其實許多網站有提供債券凸性試算的小工具，需要的人可以免費使用。

債券凸性的計算有點複雜，如果你是一般債券、債券ETF、債券基金的投資人，只需要知道基本概念就夠用了，不需要特別對債券凸性深入計算；但如果你是好奇想算算看，也可以用網路上的小工具協助計算。

總於言之，除非你是管理債券基金的或是避險基金的經理人，才需要精確試算了解投資組合對利率的風險。

債券凸性怎麼查詢

• 債券ETF/債券基金：基金公司(或是投信公司)的網頁查詢或詢問
• 直接買債券：詢問銷售的金融機構或是自己計算

如果你投資的是債券ETF或是債券基金，可以到基金公司(或是投信公司)的網頁查詢或詢問，例如TLT ETF就可以到iShare官網查詢，但可能有些基金公司網頁並沒有提供。

此外，如果是透過金融機構銷售通路直接購買債券，可以向銷售機構詢問；

網路上也有一些工具網站提供凸性的試算，例如Omni Calculator，只要輸入債券的面值、票面利率、到期殖利率等基本資料，就可以幫你算出這一檔債券的凸性。

市場先生快速重點整理

1. 債券凸性是用來修正債券存續期間的工具，讓利率變化和債券價格變化的關係更貼近真實情況，分成正凸性和負凸性兩種。

2. 正凸性債券會呈現向上彎曲的曲線，反映出的特性就是漲多跌少的情形，投資人承擔的利率風險會比理論值低

3. 負凸性債券會呈現向下彎曲的曲線，反映出的特性就是漲少跌多的情形，投資人承擔的利率風險會比理論值高，但作為風險補償，負凸性債券到期殖利率也會比較高。

4. 債券凸性主要專業經理人或是金融機構用來分析債券風險的工具，一般投資人只要知道基本特性就足夠。

5. 想知道投資標的的凸性，可以到基金公司(或是投信公司)的網頁查詢或詢問，或是用網路工具自己計算。

市場先生心得：債券凸性在什麼情況會用到？

債券凸性算是比較複雜專業的資訊，一般人其實用不到。一般我們要衡量風險，就用存續期間粗略估一下就好，也不用追求精確。

但如果你是專業債券交易員，交易金額大、頻率高、獲利是用幾個基點在算，就會需要對債券進行精確定價以及風險評估，在計算利率變化對價格影響時就需要考慮債券凸性，才能得到準確的結果。

其他情況大概是考試才會用到。

我自己也是在精算推估利率與債券價格變化時，計算上才偶然用到，也不必自己計算，就套公式就可以。

而現實中，實際的債券價格，也不會完全和利率變化預估出來的一樣，因為債券價格除了受利率影響以外，還會受到市場對未來預期、機會成本、恐慌情緒等因素影響，但用來推估合理範圍仍是相當精確且有參考意義的。

這次想分享的主題稍微難一點，需要對債券與存續期間有一些概念才比較容易了解，

更多文章可以參考：

• 債券新手入門
• 債券存續期間是什麼？

最後，
分享債券投資的相關知識：

1. 債券新手入門教學懶人包

2. 到期殖利率(YTM)是什麼？票面利率又是什麼？債券的4種利率介紹

3. 短債/中債/長債的差異？償還期限 vs 報酬風險走勢 vs 債券特性比較

4. 債券報價要怎麼看？教你看懂債券特有的「面值百分比報價」

5. 美國公債是什麼？T-bill/T-Note/T-Bond的差異

這篇文章為市場先生資訊整理與觀念教學分享，內容提到任何標的或券商均無推薦之意，投資必定有風險，任何投資決策前請務必自行評估判斷。

加入市場先生FB社團，充實更多理財好知識

50歲之前想退休一定要懂理財，解決投資的煩惱！

市場先生開了一堂的「用美股ETF創造穩定現金流」教學課程，
這堂課程會從基礎入門、資料查詢到實際操作，
教你學會建立一個穩定的全球ETF投資組合，目前累積已經有將近2000位同學上課。

線上課程》美股ETF創造穩定現金流線上課程連結

如果覺得這篇文章有幫助，
幫我按個讚，分享給更多人看到，謝謝！